運用成果の求め方～投資パフォーマンスを自分で評価できるようになろう～ その１
運用成果を求めよう
普通、投資を行う場合にはたった一つの投資商品に全額を賭けるというケースは少なく、色々な商品を様々な時点で購入したり売却したりするものです。
これらすべての投資活動の成果を合計したものが運用成果になります。
運用成果は利用しているサービス毎であれば、サービス側が勝手に出して表示してくれていることもありますが、複数のサービスを利用している場合は自分で算出しないとわからないことが普通です。
また、これまでのデータから期待されるリターンがわかっている場合は、これを用いて期待される運用成果を計算することができます。ですが、これは普通自分で計算しないと出て来ません。
こういったことは当然ながら将来の投資方針を決める上で必須なので、できることなら運用成果の計算を自分でできるようになっておくべきです。
そこで今回は、簡単な場合から始めて運用成果を計算できるようになりましょう。
簡単な場合～積立投資から考えてみよう～
最初に一定の額を投資して後は追加投資しないという最も簡単な場合にどうなるかという計算は
でやりました。
しかし、普通の人が投資をしようと思った場合、まとまった資金がいきなりあるケースは稀です。実際は、毎月貯金するのと同じように、毎月積立投資をするものでしょう。
そこで、積立投資の運用成果がどうなるかをまず考えてみましょう。
まあ積立投資の場合は、Webで検索かければ積立シミュレーションツールが色々あるので、それで見れば一発なので話は終わりと言えば終わりなのですが……（笑）
ここでは、背後にある考え方、計算方法についてもう少し踏み込んで解説しておきましょう。
この考え方を応用することで、より複雑な場合の投資であっても将来の運用成果がいくらになるかを計算することができます。
積立投資の運用成果の求め方
一番簡単な場合として、毎年一定額を積み立てる場合を考えてみましょう。
例えば、利率５％で毎年始に１００万円を積み立てたとして、２０年目の年末にいくらになっているのかを考えてみます。
いきなり２０年後では難しいかもしれないので、まずは１年後を考えましょうか。
１年目ですが、年始に１００万円を積み立てます。この１００万円が１年後にいくらになっているかを考えると、
（万円）になっています。あえて計算はしないでこのままの形で書いておきます。
次に２年後を考えます。
２年目の年始に１００万円が追加されます。
なので２年目の年始時点での総額は 
（万円）です。
これが２年目の年末には 
（万円）になります。
３年後を考えましょう。
３年目の年始に１００万円が追加されます。
なので３年目の年始時点での総額は 
（万円）です。
これが３年目の年末には
（万円）です。
もう大体法則性が見えてきたかと思います。このまま２０年まで式を伸ばせば答えを得ます。
すなわち、利率５％で毎年はじめに１００万円を積み立てたとして、２０年後の年末には
（万円）
になっています。よく見ると中カッコの中身は初項１．０５、公比１．０５の等比数列の和になっているので、
（万円）
となります。
単純に貯金した場合はトータルで２０００万円ですから、
倍にもなっているわけですね。
積立投資の運用成果の求め方（別解）
上のやり方だと、一々時系列順に全体の計算をしないと答えの形が見えてこないので不便です。
そこで、このタイプの問題に対するもっと一般的な考え方はないかを考察してみます。
答えを出す寸前のこの式に注目してみましょう。
この式の個々のパーツは
となっています。
実はこれらはそれぞれ
：１年目の年始に投資した１００万円の２０年目の年末におけるリターン
：２年目の年始に投資した１００万円の２０年目の年末におけるリターン
：３年目の年始に投資した１００万円の２０年目の年末におけるリターン
：４年目の年始に投資した１００万円の２０年目の年末におけるリターン
：２０年目の年始に投資した１００万円の２０年目の年末におけるリターン
になっています。
これはどういうことかというと、つまり、一々全体を順番に計算しなくても、各時点で投資した金額が終わり（２０年目の年末）の時点でいくらになっているかを計算して、すべて足し合わせれば全体の運用成果が得られると言っているわけです。
一般の場合の運用成果の求め方
別解の考え方は応用性・一般性があります。というのも、別に一定額を毎年積み立てるといったケースに限らずこの考え方を使うことができるからです。
毎年投資できる額が一定であり、また利率も一定であるという仮定はだいぶ現実からは離れています。実際は毎年の投資額が増えたり減ったりするでしょうし、投資した時期によって利率も異なるでしょう。
そこで、次のようなもう少し複雑な例を考えてみましょう。
１年目の年始に１００万円
２年目の年始に５０万円
３年目の年始に１２０万円
４年目の年始に０円
５年目の年始に７０万円
を積立投資しました。
ただし、投資のリターンは年率５％であったとします。
５年目の年末における運用成果はいくらになるでしょうか？
このくらいなら最初のように時系順に考えていってもできなくもないですが、個別の投資額のリターンを考えて足し合わるやり方でやってみましょう。
①１年目の年始に投資した１００万円のリターンは 
（万円）となります。
②２年目の年始に投資した５０万円のリターンは 
（万円）となります。
③３年目の年始に投資した１２０万円のリターンは 
（万円）となります。
④４年目の年始に投資した０万円は、何も投資しなかったわけですから、リターンも０万円です。
⑤５年目の年始に投資した７０万円のリターンは 
（万円）となります。
したがって、運用成果は①～⑤をすべて足し合わせることによって得られ、
さらに、時期によって利率も変動する場合を考えてみます。
１年目の年始に１００万円
２年目の年始に５０万円
３年目の年始に１２０万円
４年目の年始に０円
５年目の年始に７０万円
を積立投資しました。
ただし、投資のリターンは
１年目の年始～３年目の年末は年率３％、４年目の年始～５年目の年末は年率５％であったとします。
５年目の年末における運用成果はいくらになるでしょうか？
この場合、最初の考え方で順番にやろうとするとたぶんちょっと嫌になります（笑）
そこで、個別の投資額のリターンを考えて足し合わせましょう。
①１年目の年始に投資した１００万円は、１年目の年始～３年目の年末は３％、４年目の年始～５年目の年末は５％で運用しました。なのでリターンは 
（万円）となります。
②２年目の年始に投資した５０万円は、２年目の年始～３年目の年末は３％、４年目の年始～５年目の年末は５％で運用しました。なのでリターンは 
（万円）となります。
③３年目の年始に投資した１２０万円は、３年目の年始～３年目の年末は３％、４年目の年始～５年目の年末は５％で運用しました。なのでリターンは 
（万円）となります。
④４年目の年始に投資した０万円は、何も投資しなかったわけですから、５年目の年末も０万円です。
⑤５年目の年始に投資した７０万円は、５年目の年始～５年目の年末は５％で運用しました。なのでリターンは （万円）となります。
したがって、運用成果は①～⑤をすべて足し合わせることによって得られ、
さらに複雑なケースを考えても同様です。
投資信託に積立投資する場合を考えます。投資信託は毎年リターンが変動し、マイナスとなるケースもあり得ます。
１年目の年始に１００万円
２年目の年始に５０万円
３年目の年始に１２０万円
４年目の年始に０円
５年目の年始に７０万円
を投資信託に積立投資しました。
ただし、投資信託のリターンは
１年目は年率３％
２年目は年率４％
３年目は年率ー２％
４年目は年率０％
５年目は年率１％
だったとします。
５年目の年末における運用成果はいくらになるでしょうか？
①１年目の年始に投資した１００万円のリターンは 
（万円）となります。
②２年目の年始に投資した５０万円のリターンは 
（万円）となります。
③３年目の年始に投資した１２０万円のリターンは 
（万円）となります。
④４年目の年始に投資した０万円は、何も投資しなかったわけですから、５年目の年末も０万円です。
⑤５年目の年始に投資した７０万円のリターンは 
（万円）となります。
したがって、運用成果は①～⑤をすべて足し合わせることによって得られ、
このように、どんなに複雑な場合であっても、個々の資産への投資額とそのリターンを計算して、それらをすべて足し合わせることで運用成果を求めることができます。
次回は、もう少し色々な場合について運用成果を考えてみましょう。
