運用成果の求め方～投資パフォーマンスを自分で評価できるようになろう～　その２

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運用成果の求め方～投資パフォーマンスを自分で評価できるようになろう～　その２

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2018.08.2

運用成果の求め方～投資パフォーマンスを自分で評価できるようになろう～　その２

前回で運用成果の求め方の基本的な部分についてはやったのですが、今回はもう少し発展的な場合について考えていきたいと思います。

引き出し（売却）を伴う場合

途中で引き出し（売却）をする場合は当然あると思います。この場合も、考え方の基本は同じです。個別の投資とそれに対するリターンを求めてすべて足し合わせることで、全体の運用成果が出ます。

引き出し（売却）は、金額がマイナスの投資行為だと考えます。

例を挙げてみましょう。

１年目の年始に１００万円を投資信託Aに投資しました。

投資信託Aのリターンは年率で次の通りです。
１年目：４％
２年目：５％
３年目：－３％
４年目：２％
５年目：１％

３年目の運用成績が悪かったので、４年目の年始に５０万円を投資信託Aから引き出し（売却し）て、代わりに別の投資信託Bに投資しました。

投資信託Bのリターンは年率で次の通りです。
４年目：３％
５年目：２％

５年目の年末における全体の運用成果はいくらになるでしょうか？

①１年目の年始に１００万円を投資信託Aに投資しました。これの５年目の年末におけるリターンを計算すると、 $100 \times (1+0.04) \times (1+0.05) \times (1-0.03) \times (1+0.02) \times (1+0.01) \fallingdotseq 109.1$ （万円）です。

②４年目の年始に５０万円を投資信託Aから引き出しました。これをー５０万円投資信託Aに投資したと考えるのがポイントです。すると、５年目の年末におけるリターンは $-50 \times (1+0.02) \times (1+0.01) \fallingdotseq -51.5$ （万円）と計算されます。

③４年目の年始に５０万円を投資信託Bに投資しました。これの５年目の年末におけるリターンは $50 \times (1+0.03) \times (1+0.02) \fallingdotseq 52.5$ （万円）となります。

全体の運用成果は、①～③をすべて足し合わせることで得られ、
$109.1-51.5+52.5=110.1$ （万円）として求まります。

投資期間が１年単位でない場合

通常、投資のリターンは年率で表されています。

しかし、私たちが投資をする場合には、ぴったり１年間投資するといったことはむしろ稀で、半年とか３カ月とか８カ月ちょっとなどの中途半端な時期に引き出し（売却）を行うことは普通によくあることでしょう。

この場合の運用成果の求め方を述べましょう。

１００万円を年率５％のリターンである投資商品に投資する場合を考えます。

１年間投資した場合のリターンは当然 $100 \times (1+0.05) =105$ （万円）です。

では、半年後の時点ではいくらになっているでしょうか。

利息が年間５万円付いているから、その半分の利息２．５万円が付いているはずだと考えて、１０２．５万円でしょうか？

実は、この考え方は間違っています。

正しい考え方は次の通りです。

１００万円が半年で $1+j$ 倍になっているとしましょう。このとき、 $j$ は半年分の利率に相当する値です。

今投資している対象はずっと年率５％のリターンですから、いつ投資しても同じ期間なら増え方は変わらないと考えられます。増え方が変わらないというのはつまり、同じ期間なら（増える金額が等しいのではなく）倍率が等しいということです。

また当たり前ですが、１００万円を１年間ずっと投資し続けることと、１００万円を半年間投資して、さらにもう半年間投資することは同じであるはずです。

１００万円を１年間ずっと投資し続けた場合は $100 \times (1+0.05)$ 万円です。

１００万円を半年間投資すると、 $100 \times (1+j)$ （万円）になっているとすると、これをさらにもう半年間投資した場合は、 $100 \times (1+j) \times (1+j)$ （万円）になっているはずです。（同じ期間なら倍率が等しいため）

この両者の金額が等しくなるはずですから、次の式が成り立ちます。

$100 \times (1+0.05) = 100 \times (1+j)^{2}$

したがって、

$1+0.05 = (1+j)^{2}$

２乗するとすると $1+0.05$ になる数は $(1+0.05)^{1/2}$ として表されるので（一般に $m$ 乗して $a^n$ になる数を $a^{n/m}$ と表します）

$1+j=(1+0.05)^{1/2}$

したがって、１００万円を投資すると、半年後には

$100 \times (1+0.05)^{1/2} \fallingdotseq 102.47$ （万円）

になります。

ここで、半年が1/2年であることに注目しましょう。

年率５％の投資商品に投資すると、

１年後には $1+0.05$ 倍
２年後には $(1+0.05)^{2}$ 倍
……
$n$ 年後には $(1+0.05)^{n}$ 倍
そして、
1/2年後には $(1+0.05)^{1/2}$ 倍

になるのです。

この観察から、一般に次の式が成り立っていることがわかります。

年率 $i$ のリターンである投資商品に金額 A を $x$ 年間（ $x$ は整数とは限らない正の数）投資した場合の運用成果は $A \times (1+i)^{x}$ である。

例えば、１カ月、２か月、……といった期間の場合は、１年が１２か月であることから、 $(1+i)^{1/12}$ 倍、 $(1+i)^{2/12}$ 倍、……となります。

さらに、投資期間１カ月と１０日のようにもっと中途半端な場合は、普通１年は３６５日であることから、 $(1+i)^{1/12+10/365}$ 倍になると考えます。

ところで最初の例に戻ると、１００万円を年率５％のリターンの商品に半年間投資した場合に $1+j$ 倍になっているとすれば、

$1+j=(1+0.05)^{1/2}$

が成り立っています。

この式によって求めた $j$ は、半年分の利率に相当する値です。つまり、単位期間を１年から半年に変更した場合の投資商品のリターンだと考えることができます。

この考え方に基づけば、１年=２半年であることから、１年間投資した場合の成果額が

$100 \times (1+j)^2$

で表されることは明らかでしょう。

また、これを用いると、１年半後の成果額は $100 \times (1+j)^3$ などと、半年単位の期間であれば簡単に成果額を求めることができます。

この考え方を応用して、毎月積立の積立投資の運用成果を求めてみましょう。

毎月積立の積立投資の成果の求め方

普通、積立投資をするなら１年毎ではなく、毎月積立するものでしょう。

そこで、毎月始めに１万円を年率５％のリターンである投資商品に１０年間積立投資する場合の運用成果を考えてみましょう。

すると、次の問題が自然と発生することがわかります。

例えば、３か月後に積立した１万円が１０年後にいくらになっているかを考えると、それは３か月後から見て９年９か月後のリターンを求めることになるわけです。だからこの場合は、 $1 \times (1+0.05)^{9+9/12}$ を求めることになります。

こういったことが毎月起こるわけなので、だいぶ煩わしいですよね。

そこで、先ほど説明した単位期間の変更を行いましょう。年率５％の商品を、月率いくらに直して考えるのです。

年率 5 %の商品が月率 $j$ %の商品であるとすると、次の式が成り立っています。

$1+j=(1+0.05)^{1/12}$
$j \fallingdotseq 0.004074$

なので、月率 $j=0.4074$ %の商品であると考えることができます。

すると例えば、３か月後に積立した１万円が１０年後にいくらになっているかを考えると、それは３か月後から見て９年９か月＝１１７カ月後のリターンを求めることになるわけです。だからこの場合は、 $1 \times (1+j)^{117}$ を求めることになります。形が綺麗になりましたね。

では、毎月積立の運用成果を求めましょう。

まず最初に１万円を投資します。これは１０年後に $1 \times (1+j)^{120}$ （万円）となります。
１か月後に１万円を投資します。これは１０年後に $1 \times (1+j)^{119}$ （万円）となります。
２か月後に１万円を投資します。これは１０年後に $1 \times (1+j)^{118}$ （万円）となります。
……
９年１１か月に１万円を投資します。これは１０年後に $1 \times (1+j)$ （万円）となります。